Заслуженный художник РСФСР. Стал первым русским художником, который был избран почётным членом Королевского общества художников-графиков Великобритании (англ. Royal Society of Painter-Printmakers). Награждён именной серебряной медалью папы Иоанна Павла II.
Родился 5 апреля 1930 года в Москве. В 1943 году начал заниматься в изостудии Дворца культуры Московского автозавода. В 1949 году он окончил Московское высшее художественно-промышленное училище (бывшее Строгановское), отделение по художественной обработке металла. После окончания училища продолжал заниматься у академика И. Н. Павлова. Среди других его учителей были другие мастера репродукционной школы гравюры на дереве — Д. Г. Соболев и М. В. Маторин.
Сначала Калашников работал художником-конструктором на Московском автозаводе, но вскоре перешёл в издательство «Советский писатель», где занял должность художественного редактора.
В 1953 году он оставляет штатную работу и сотрудничает во многих московских издательствах.
В 1957 году в ДИЭЗПО ему предложили выполнить гравюру для конверта, посвящённого VI Всемирному фестивалю молодёжи и студентов[7]. После удачного исполнения заказа А. И. Калашников ушёл с постоянной работы на разовые договоры с ДИЭЗПО и другими организациями.
В начале 1960-х годов художник порвал с репродукционной школой, создав серию абстрактных иллюстраций для коллекционного издания произведений Ф. М. Достоевского. Гравюры вызвали восхищение, но так и не были опубликованы издательством, которое посчитало их «опережающими время». А. И. Калашников создал более 1000 гравюр, включая несколько эпических тематических серий, среди которых «Сюита о Достоевском», «Война и мир», «Золотое кольцо России» (более 100 гравюр), а также 1050 экслибрисов и ряд почтовых марок, конвертов и открыток.
Первый экслибрис (для Е. В. Терехова) был сделан Калашниковым в 1964 году. В дальнейшем свои экслибрисы он выполнил для многих любителей книг СССР, Англии, Италии, Швейцарии, Австрии, Чехословакии, Финляндии, Бельгии. Им были выполнены экслибрисы для видных деятелей Международного союза экслибристов Карло Кьезы и Клауса Рёделя. Книжные знаки Калашникова имели большое признание: только за период 1967—1974 гг. он получил десять дипломов и медалей на Международных выставках.
Графические работы художника представлены в Британском музее[10], а также в некоторых музеях и картинных галереях бывшего СССР