Анна Анемподистовна родилась в 1902 году в Кадниковском уезде. В 1936 году она окончила Ленинградский медицинский институт имени И.П.Павлова. А.А.Белякова была участницей Советско-Финляндской войны. В качестве военного врача она служила на военно-санитарном поезде № 325.
С 1942 года, после окончания курсов по спецподготовке военно-полевых терапевтов, была направлена в хирургический полевой подвижной госпиталь № 635 на Калининский фронт. Там она заведовала эвакосортировочным отделением и одновременно лечила раненых. Приходилось трудно, работали почти сутками, отдыхали 1-2 часа и снова за спасение жизней раненых бойцов. Позднее, в 1968 году, в одном из писем своему сослуживцу М. М. Степанову Анна Анемподистовна напишет: «…терапия военно-полевая, с которой я встретилась впервые. Я часто вспоминаю весь коллектив госпиталя, он как-то ближе был других. Очевидно, … первые шаги работы, трудности и совершенствования условий для больных от пола до нар…».
С октября 1945 по сентябрь 1946 гг. - начальник бригадного лазарета Красной Армии в Германии.
После демобилизации в 1946 г. назначена заведующей Погореловской участковой больницей Тотемского района. Здесь она проработала до 1971 года. Местным жителям повезло с таким разноплановым доктором: Анна Анемподистовна и терапевт, и хирург, и детский врач, и гинеколог. За свой самоотверженный труд врач награждена орденом Трудового Красного Знамени (1960 г.), в 1967 г. ей присвоено звание «Заслуженный врач РСФСР».
На основании приказа Министра обороны СССР от 06.04.1985 года ветерану вручен Орден Отечественной войны II степени.
Имя Беляковой Анны Анемподистовны занесено в Книгу Памяти «Ветераны Великой Отечественной. Вологодская область. Тотемский район. - Вологда, 2002» № п/п 563 и как участника советско-финляндской войны № п/п 14.