Родился 9 ноября 1937 года в посёлке Ловдоко Хабаровского края. Но жил там недолго: уже в следующем году с родителями переехал на их родину в село Железный Борок Буйского района Костромской области, которое стало и его родиной. Учился в сельской семилетке и в школе города Буя. Служил в парашютно-десантном полку в Пскове. После армии Александр Алексеевич работал на стройке Череповецкого металлургического завода и в сортопрокатном цехе этого предприятия, служил сверхсрочником в военном училище связи в Череповце.
Александр Алексеевич заочно окончил Московский историко-архивный институт. В Вологду Грязев переехал в 1973 году. Работал в газетах "Красный Север" и "Вологодский комсомолец", научным сотрудником музея и архива области, директором бюро пропаганды художественной литературы при Вологодской писательской организации, стереотипером в областной типографии, редактором епархиальной газеты "Благовестник". С 1993 по 1998 год - ответственный секретарь Вологодской писательской организации Союза писателей России".
В 1978 году в Москве А. А. Грязев закончил Высшие театральные курсы по специальности "драматургия" при ГИТИСе. Автор двух пьес, поставленных в Вологде и Череповце: "Всего два дня" (1976), "Одиноким предоставляется общежитие" (1982), а также книг "Подобру да поздорову" (1981), "Чтобы свеча не угасла" (1985), "Грех игумена" (1990), "Расскажи мне про Париж" (1999) и других произведений. Печатался в "Литературной России", "Русской жизни" (Сан-Франциско, США), журналах "Север", "Ваш современник", "Алтай", "Россия молодая", "Поле Куликово", "Дальний Восток", "Роман-газета-Швек". Член Союза писателей России. Живёт в Вологде. Долгое время являлся ответственным секретарём Вологодской писательской организации.