Родился 19 апреля 1940 года в селе Чирково Усть-Кубенского района Вологодской области. Постоянно живет и работает в Вологде с 1976 г.
В 1964 году окончил Ярославское художественное училище. С 1964 по 1973 год проходил службу в Советской Армии на о. Сахалин. В 1967 продолжил учебу в Московском художественном институте им. В. И. Сурикова на факультете монументальной живописи.
С 1978 г. – член Союза художников России. У художника состоялись пять персональных выставок в Вологде, две – в Череповце, две – в Ярославле. В 1994 г. был выдвинут управлением культуры, картинной галереей и Союзом художников на соискание Государственной премии России.
Произведения худжника находятся в коллекциях ВОКГ, ВГИАиХМЗ, ЧерМО, галерее «Красный мост» и других музеев в России и за рубежом.
Художник работает в области станковой и монументальной живописи в техниках темперной и масляной живописи в жанрах сюжетно-тематической картины, пейзажа и натюрморта. Художник создал оригинальный стиль, своеобразно соединяющий традиции народного творчества,иконописи, достижений русского авангарда, избрав в самом начале творческого пути близкую по судьбе тему северной деревни, создает в ней глубокие, то драматичные, то полные юмора и жизнеутверждающей силы образы русского крестьянина и его бытия.
Владимир Корбаков назвал Асафова «художником большой формы». А искусствовед Галина Дементьева в своем отзыве об одной из выставок отметила, что Генрих Асафов относится к той плеяде современных мастеров, которые еще в 70-е годы XX века в поиске нравственных идеалов в искусстве обратились к своим корням, земле, деревне.